Si al hacer un insert les marca el siguiente error en MySQL:

Cannot add or update a child row: a foreign key constraint fails

La solución es cambiar el motor de almacenamiento MyISAM a InnoDB de la tabla que tiene la referencia, una vez realizado este cambio ya debe de funcionar el insert (claro, siempre y cuando exista el valor del ID que hace referencia).

Aca pueden ver más información sobre las relaciones de tablas en MySQL